2025全国一卷数学19题

题目

设函数 $f(x)=5\cos x-\cos 5x$。

(1) 求 $f(x)$ 在 $[0,\frac{\pi }{4}]$ 的最大值；

(2) 给定 $\theta \in (0,\pi )$，设 $a$ 为实数，证明：存在 $y\in (a-\theta ,a+\theta )$，使得 $\cos y\le \cos \theta$；

(3) 若存在 $t$ 使得对任意 $x$，都有 $5\cos x-\cos (5x+t)\le b$，求 $b$ 的最小值。

解答

By gemeni 3.1 pro

(1) 已知 $f(x)=5\cos x-\cos 5x$，求导得：

$$f^{\prime }(x)=-5\sin x+5\sin 5x=10\cos 3x\sin 2x$$

当 $x\in [0,\frac{\pi }{4}]$ 时，$2x\in [0,\frac{\pi }{2}]$，恒有 $\sin 2x\ge 0$。 当 $x\in [0,\frac{\pi }{6})$ 时，$3x\in [0,\frac{\pi }{2})$，$\cos 3x>0$，故 $f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增； 当 $x\in (\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4}]$ 时，$3x\in (\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{4}]$，$\cos 3x<0$，故 $f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减。 因此，$f(x)$ 在 $x=\frac{\pi }{6}$ 处取得最大值：

$$f\left(\frac{\pi }{6}\right)=5\cos \frac{\pi }{6}-\cos \frac{5\pi }{6}=\frac{5\sqrt{3}}{2}-(-\frac{\sqrt{3}}{2})=3\sqrt{3}$$

(2)证明： 设闭区间 $I=[a-\theta ,a+\theta ]$。 若 $I$ 内包含 $\pi$ 的奇数倍（即存在整数 $k$ 使 $(2k+1)\pi \in I$），取 $y=(2k+1)\pi$，则 $\cos y=-1\le \cos \theta$，命题显然成立。

若 $I$ 内不包含 $\pi$ 的奇数倍，设距离 $a$ 最近的 $\pi$ 的奇数倍为 ${\pi }_0=(2m+1)\pi$，记 $d=|a-{\pi }_0|$。 因任意实数到最近的奇数倍 $\pi$ 的距离不超过 $\pi$，故 $d\le \pi$。又因 ${\pi }_0\notin I$，故 $d>\theta$。 取区间 $I$ 中距离 ${\pi }_0$ 最近的端点设为 $y_0$，则 $|y_0-{\pi }_0|=d-\theta$。 此时 $y_0$ 的余弦值为：

$$\cos y_0=\cos ({\pi }_0\pm (d-\theta ))=-\cos (d-\theta )$$

由 $\theta <d\le \pi$ 知， $0<d-\theta \le \pi -\theta <\pi$。 由于余弦函数 $y=\cos x$ 在 $[0,\pi ]$ 上单调递减，故：

$$\cos (d-\theta )\ge \cos (\pi -\theta )=-\cos \theta$$

不等式两边同乘 $-1$ 得 $-\cos (d-\theta )\le \cos \theta$，即 $\cos y_0\le \cos \theta$。 综上，必然存在 $y\in [a-\theta ,a+\theta ]$，使得 $\cos y\le \cos \theta$。

(3)解： 由题意，需对任意给定的 $t$，找到函数 $g(x)=5\cos x-\cos (5x+t)$ 的最大值的下界。 在 (2) 的结论中取 $\theta =\frac{5\pi }{6}\in (0,\pi )$，并将 $t$ 视作 $a$。 由 (2) 可知，在闭区间 $[t-\frac{5\pi }{6},t+\frac{5\pi }{6}]$ 内必存在某个值 $y_0$，使得：

$$\cos y_0\le \cos \frac{5\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

令 $y_0=5x_0+t$，解得对应的 $x_0=\frac{y_0-t}{5}$。 因为 $y_0\in [t-\frac{5\pi }{6},t+\frac{5\pi }{6}]$，所以 $x_0\in [-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{6}]$。 在 $[-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{6}]$ 内，$\cos x_0\ge \cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 将此 $x_0$ 代入 $g(x)$：

$$g(x_0)=5\cos x_0-\cos y_0\ge 5\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)-(-\frac{\sqrt{3}}{2})=3\sqrt{3}$$

这说明无论 $t$ 取何值，$g(x)$ 的最大值都不小于 $3\sqrt{3}$。因此，要使 $g(x)\le b$ 对任意 $x$ 恒成立，必有 $b\ge 3\sqrt{3}$。 当 $t=0$ 时，$g(x)=5\cos x-\cos 5x$，结合 (1) 及其在定义域上的周期对称性，其全局最大值确为 $3\sqrt{3}$。 因此，$b$ 的最小值为 $3\sqrt{3}$。