题目

设 $A_n$ 是关于 $x$ 的方程 $|||\dots ||x-a_1|-a_2|-\dots |-a_{n-1}|-a_n|=0$ 的解集，其中 $n\ge 2,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$。

（1）若 $a_i=n+1-i(i=1,2,\dots ,n)$，求集合 $A_n$；

（2）若集合 $\{a_1,a_2,\dots ,a_n\}=\{1,2,\dots ,n\}$，求 $|A_n{|}_{\text{max}}$（即解集元素个数的最大值）。

分析

这个问题来自高一(20)班的一个学生，并提供来一份错误答案。

本身并不太困难，但是比较意外除了gpt 5.4 pro和Grok expert以外的ai全挂，这俩做出来的也是又臭又长。有的同原本的错误答案一样认为第一问的排列即是使解集最大的情况，有的认为没有封闭形式的解。

具体分析一下，$A_n$中的元素就是$a_1$加上或者减去每个$a_i$的值，因此上界就是$Sn$，下界是$2a_1-S_n$，并且每个元素的奇偶性相同。

所以第一问就是从下界到上界步长为2的序列，数学归纳可证确实每个元素都是可达的。

第二问为了使得元素尽可能的多，我们要使下界尽可能小，但为了使上下界内每个奇偶性相同的整数均可达，1和2必须在最外层，所以$a_1$最小为3，那么这时任意满足不超过更外层元素之和+1的排列都是满足要求的，我们贪婪地构造一个例子即得证。

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以下是一份由gemeni整理的回答。

解答

设 $S_n=\sum _{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$。 将原方程从外向内脱去绝对值，最终解的形式必然为 $x=a_1+\sum _{i=2}^n{c}_i{a}_i$，其中 $c_i\in \{-1,1\}$。 由于改变任一 $c_i$ 的符号等价于减去一个偶数 $2a_i$，解集 $A_n$ 中的所有元素必定具有相同的奇偶性，且：

$$x\equiv \sum _{i=1}^n{a}_i\equiv S_n(\mathrm{mod}2)$$

第（1）问：

当 $a_i=n+1-i$ 时，序列为 $(n,n-1,\dots ,2,1)$。 方程等价于通过递推集合逐步求原像。由于每次向外脱去绝对值时，外层减去的数 $a_{n-k}=k+1$ 均小于等于内层可能累加的最大值 $\frac{k(k+1)}{2}$（当 $k\ge 1$ 时恒成立），故脱绝对值的过程中不会出现负数导致的无解情况，且生成的子集在数轴上无缝拼接。

解的最大值为各项均取正号：

$$x_{\text{max}}=n+(n-1)+\cdots +1=S_n=\frac{n(n+1)}{2}$$

解的最小值为除 $a_1$ 外各项均取负号：

$$x_{\text{min}}=n-((n-1)+\cdots +1)=2n-S_n=\frac{3n-n^2}{2}$$

由于该递推过程在区间内生成了所有同奇偶且连续（步长为 $2$）的整数，故：

$$A_n=\{x\in \mathbb{Z}|\frac{3n-n^2}{2}\le x\le \frac{n(n+1)}{2},x\equiv \frac{n(n+1)}{2}(\mathrm{mod}2)\}$$

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第（2）问：

结论： 当 $n=1$ 时 $|A_1{|}_{\text{max}}=1$；当 $n=2$ 时 $|A_2{|}_{\text{max}}=2$；当 $n\ge 3$ 时 $|A_n{|}_{\text{max}}=\frac{n(n+1)}{2}-2$。

证明（以 $n\ge 3$ 为例）：

① 理论上界（必要性） 由展开式 $x=a_1+\sum _{i=2}^n{c}_i{a}_i$ 可知： $x_{\text{max}}=S_n$，此时 $c_i$ 全为 $1$。 $x_{\text{min}}=2a_1-S_n$，此时 $c_i$ 全为 $-1$（该极值因内部累加恒为正，脱绝对值时必然可达）。 故 $A_n\subseteq [2a_1-S_n,S_n]$。

为使区间跨度最大，需使 $a_1$ 尽可能小。但在逐层求原像的集合映射过程中，为保证生成的集合在区间内连续、不产生空洞（Gaps），每一次引入的新元素 $a_k$ 必须满足无缝覆盖条件，即它不能大于前期累积元素总和加 $1$。 为满足最内层不产生空洞，最内侧的两个数字必须且只能取 $1$ 和 $2$（即 $a_n=1,a_{n-1}=2$）。 此时剩余数字中可供 $a_1$ 选取的最小值为 $3$。将 $a_1=3$ 代入区间端点，得到区间最大跨度为 $[6-S_n,S_n]$。 结合同奇偶性，该区间内容纳元素的理论最大基数为：

$$|A_n|\le \frac{S_n-(6-S_n)}{2}+1=S_n-2$$

② 极值排列构造（充分性） 构造排列：$a_1=3,a_{n-1}=2,a_n=1$，其余元素按降序排列，即序列为 $(3,n,n-1,\dots ,4,2,1)$。

对该序列执行脱绝对值的逆向展开： 第一步与第二步（最内层）：由 $1$ 和 $2$ 生成子集 $\{1,3\}$，该集合无空洞且步长为 $2$。 后续步骤：依次引入 $4,5,\dots ,n$。由于任意 $k\ge 4$，均严格小于前期元素的累积和 $1+2+\cdots +(k-1)$，故新生成的平移子集与对称折叠子集在数轴上必然发生重叠与无缝咬合。 最后一步：引入 $a_1=3$，将上述无缝且步长为 $2$ 的连续集合整体平移至区间 $[6-S_n,S_n]$。

该构造使得解集完美覆盖了理论区间内的所有同奇偶整数，计算其元素个数：

$$|A_n{|}_{\text{max}}=S_n-2=\frac{n(n+1)}{2}-2$$

必要性与充分性均得证。